ガンマ関数の積分

統計学 基本

ガンマ関数に関する積分です.
ガンマ分布の計算のほか、ワイブル分布にも現れます.

ガンマ関数の積分

導出

$t = \beta x$ とおく. $dt = \beta dx$ で積分区間が変わらないので

利用（ガンマ分布の期待値）

利用（ワイブル分布の高次モーメント）

（ガンマ関数に置き換えられるよう $t$ の指数部分を表現するところがポイントです）

このほかに t分布 の確率密度関数を導出する場面でも現れます.