Fact Proof $Y \le y \iff -\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}$ に注意して, $Y$ の累積分布を計算します. ここで $\phi(u)$ は標準正規分布の確率密度関数です. この両辺を $y$ で微分すると, となります. （最初の変形について, 左辺は累積分布関数→確率密度関…

確率変数の変数変換により導出する方法を整理しています. カイ二乗分布 small-star.hatenablog.jp コーシー分布 t分布 ベータ分布

日本語では瞬間部分積分という名で知られているようですが, こちらの名前は海外で紹介されているのであえて取り上げます. （例題探しも豊富ですからね） モチベーション $\int f(x)g(x) \,dx$ の形の積分を解く場合を考えます. ただし, $f,g$ の少なくとも一…

$X_1, \cdots, X_n$ を独立な確率変数とするとき, $\min\{X_1, \cdots, X_n\}$, $\max\{X_1, \cdots, X_n\}$ の確率分布を求めてみます. max分布 min 分布 どちらも独立な確率変数の変形 $P(X \le x, Y \le y) = P(X \le x)P(Y \le y)$ を使えるように変形し…

統計検定準1級について学習したメモを残します。 時短テクニックや押さえておく事項が中心となります。 基本的事項 コーシー・シュワルツの不等式 確率積分変換 確率分布 ガンマ関数の積分 small-star.hatenablog.jp minmax分布 small-star.hatenablog.jp 確…

ガンマ関数に関する積分です. ガンマ分布の計算のほか、ワイブル分布にも現れます. ガンマ関数の積分 導出 $t = \beta x$ とおく. $dt = \beta dx$ で積分区間が変わらないので 利用（ガンマ分布の期待値） 利用（ワイブル分布の高次モーメント） （ガンマ関…