統計学

Fact

Proof

$Y \le y \iff -\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}$ に注意して, $Y$ の累積分布を計算します.

ここで $\phi(u)$ は標準正規分布の確率密度関数です.
この両辺を $y$ で微分すると,

となります.
（最初の変形について, 左辺は累積分布関数→確率密度関数, 右辺は微分積分学の基本定理&合成関数の合わせ技）

もう少し変形すると自由度1のカイ二乗分布となることが分かります.