DI Method

日本語では瞬間部分積分という名で知られているようですが,
こちらの名前は海外で紹介されているのであえて取り上げます.
（例題探しも豊富ですからね）

モチベーション

$\int f(x)g(x) \,dx$ の形の積分を解く場合を考えます.
ただし, $f,g$ の少なくとも一方は多項式のように $g^{(k)} \equiv 0$ となる $k$ が存在するものとします.
（以下 $g$ が上の条件を満たすものとします）

以下は素朴に部分積分を繰り替えす方法の復習です：

便宜上 $f_{+k}$ を $f$ を $k$ 回積分した原始関数とすると,
$f(x)g(x) = f_{+1}'(x) g(x)$ と置き換えて部分積分を行います.

つまり, $f$ について1回積分し, $g$ について1回微分するようになります.
これが $g^{(k)} \equiv 0$ となるまで繰り返します.

ただし部分積分特有の式変形は写し間違いや単純な計算ミスを誘発しがちです.
この記法を単純化したのが DI Method です.

計算時に次の形式で $f$, $g$ を書き込みます：